Question

设A（-m，0），B（m，0）（m≠0），直线AC，BC相交于C，而且他们的斜率之积为-

1

m2

，若点P（1，

2

2

）是点C的轨迹上的点，直线l的方程为x=2．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点E（1，0）的直线与点C的轨迹相交于D，M两点（不经过P点），直线DM与直线l相交于N，记直线PD，PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，k₃．求证：k₁+k₂=2k₃．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点C（x，y）则k_AC•k_BC=-

1

m2

，化简后代入点P（1，

2

2

），求出m，即可求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在实数μ使得k₁+k₂=μk₃，设D（x₁，y₁），M（x₂，y₂），直线DM的方程为y=k（x-1）代入点C的轨迹方程，利用韦达定理求出两根和与两根之积，表示出直线PD，PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，k₃．通过三点共线即可求出μ，得到所证明的k₁+k₂=2k₃．

解答： 解：（Ⅰ）设点C（x，y）则k_AC•k_BC=

y

x+m

•

y

x-m

=-

1

m2

(x≠±m)--（2分）
化简得

x2

m2

+y2=1(x≠±m)----------------------------------（3分）
∵P（1，

2

2

）在点C的轨迹上，∴

1

m2

+

1

2

=1------------（4分）
∴m²=2，∴点C的轨迹方程为：

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)------------（6分）
（Ⅱ）假设存在实数μ使得k₁+k₂=μk₃，
由题意设直线DM的方程为y=k（x-1）代入点C的轨迹方程

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0---------------------------（8分）
设D（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

---------（9分）
根据题意得N（2，k），从而k₁=

y1- 2 2

x1-1

，k₂=

y2- 2 2

x2-1

，k₃=

k- 2 2

2-1

=k-

2

2

．
又因为E、D、M三点共线，∴k=

y1

x1-1

=

y2

x2-1

-------------------（10分）
∴k₁+k₂=

y1- 2 2

x1-1

+

y2- 2 2

x2-1

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

2

2

(

1

x1-1

+

1

x2-1

)
=2k-

2

2

•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=2k-

2

2

•

4k2 1+2k2 -2

2(k2-1) 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1

=2k-

2

=2k₃-（12分）
故存在实数μ=2符合题意-----------------------（13分）
故k₁+k₂=2k₃--------------------（13分）（文科）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，轨迹方程的求法，考查分析问题与解答问题的能力，计算量大，难度高．