Question

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，∠BAF=

π

3

，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：
（1）BF⊥平面DAF；
（2）ME∥平面DAF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由四边形ABCD为矩形，可得DA⊥AB．进而由面面垂直的性质定理得到：DA⊥平面ABEF，进而DA⊥BF，又由AB为直径，得到BF⊥AF．最后由线面垂直的判定定理得到BF⊥平面DAF；
（2）因∠BAF=

π

3

，AB∥EF，可得EF=

1

2

AB；取DA中点N，连NF，MN，可判断出四边形MNFE为平行四边形，即ME∥NF，最后由线面平行的判定定理得到：ME∥平面DAF．

解答： 解：（1）因四边形ABCD为矩形，
故DA⊥AB．
因平面ABCD⊥平面ABEF，且DA?平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
故DA⊥平面ABEF…3分
因BF?平面ABEF，
故DA⊥BF…4分
因AB为直径，
故BF⊥AF．
因DA，AF为平面DAF内的两条相交直线，
故BF⊥平面DAF…7分
（2）因∠BAF=

π

3

，AB∥EF，
故EF=

1

2

AB…8分
取DA中点N，连NF，MN，
因M为BD的中点，
故MN∥AB，且MN=

1

2

AB，
于是四边形MNFE为平行四边形，
所以ME∥NF…11分
因NF?平面DAF，ME?平面DAF，
故ME∥平面DAF…14分

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题．