Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．
（Ⅰ）证明：O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C₁-OB₁-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形．可得O₁O∥CC₁∥BB₁且CC₁⊥AC，BB₁⊥BD，进而OO₁⊥AC，OO₁⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=

3

，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD₁B₁和平面OB₁C₁的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O₁也是B₁D₁的中点，
又∵四边形ACC₁A₁和四边形BDD₁B₁均为矩形，
∴O₁O∥CC₁∥BB₁且CC₁⊥AC，BB₁⊥BD，
∴OO₁⊥AC，OO₁⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
∴O₁O⊥底面ABCD；
解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O₁O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO₁两两垂直，

如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=

3

，
则O（0，0，0），B₁（

3

，0，2），C₁（0，1，2）
易知，

n1

=（0，1，0）是平面BDD₁B₁的一个法向量，
设

n2

=（x，y，z）是平面OB₁C₁的一个法向量，则

n2 • OB1 =0 n2 • OC1 =0

，即

3 x+2z=0 y+2z=0

取z=-

3

，则x=2，y=2

3

，所以

n2

=（2，2

3

，-

3

）
设二面角C₁-OB₁-D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

2 3

19

=

2 57

19

，
故二面角C₁-OB₁-D的余弦值为

2 57

19

．

点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．