Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P、Q两点，分别过P、Q两点作PP₁，QQ₁垂直于抛物线的准线于P₁、Q₁，若|PQ|=2，则四边形PP₁Q₁Q的面积是（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、3
• D、1

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：数形结合,转化思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分析：这是一个抛物线的焦点弦问题，所以要尽可能的利用抛物线的定义、性质结合图象将问题合理转化后求解．

解答： 解：如图所示：由已知得|PP₁|+|QQ₁|=|PQ|=2，
所以直角梯形PP₁QQ₁ 的面积S=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)|P1Q1|=

1

2

|PQ||P1Q1|=|P₁Q₁|，
又因为∠QPP₁=30°，所以在直角梯形PP₁QQ₁中，|P₁Q₁|=|PQ|sin∠QPP₁=2sin30°=1．
所求四边形PP₁Q₁Q的面积为1．
故选D

点评：抛物线的焦点弦问题常从定义出发，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转换，将所求的问题转化为我们所熟知的问题解决；同时要强化解析几何问题做题先画图的思想意识，充分利用数形结合的思想解题．
另外，本题也可以借助于方程的思想求解，即先利用直线与抛物线方程联立消元，利用韦达定理、弦长公式求出p的值，再将所求的面积用P、Q的坐标表示，最后利用韦达定理采用“设而不求”的方法将面积表示并求出来．