Question

已知抛物线方程y²=8x，直线L的方程为

3

x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d₁，P到直线L的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值（　　）

• A、

  3

  +2
• B、

  3

  -1
• C、2

  3

• D、

  3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-2于点C．由抛物线的定义，得到d₁+d₂=（PA+PF）-2，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答： 解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-2于点C，
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，
∵P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-2=（PA+PF）-2，
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值
∵F（2，0）到直线l：

3

x-y+4=0的距离为

2 3 +4

2

=

3

+2，
∴PA+PF的最小值是

3

+2，
由此可得d₁+d₂的最小值为

3

+2-2=

3

．
故选：D．

点评：本题给出抛物线和直线l，求抛物线上一点P到y轴距离与直线l距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．