Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得满足：f（x）在[a，b]上是单调函数且在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是

 

①f（x）=x³（x∈R）
②f（x）=

1

x

（x∈R，x≠0）
③f（x）=

4x

x2+1

（x∈R）
④f（x）=e^x（x∈R）
⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据“和谐区间”的定义只需逐个验证函数是否满足两个条件即可．

解答： 解：对于①，易知f（x）x³在[a，b]上单调递增，由题意设

a3=2a b3=2b

，解得当

a=- 2 b=0

或

a=0 b= 2

或

a=- 2 b= 2

时，满足条件；
对于②f（x）在（0，+∞）上单调递减，取区间[a，b]⊆（0，+∞），由题意设

1 a =2b 1 b =2a

，所以只需ab=

1

2

即可，满足条件；
对于③，f（x）在[-1，1]上单调递增，取区间[a，b]⊆[-1，1]，由题意设

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，解得当

a=-1 b=0

或

a=0 b=1

或

a=-1 b=1

时，满足条件；
对于④，易知f（x）=e^x递增，由题意设

ea=2a eb=2b

，即a，b是方程e^x=2x的两个根，由于两函数

y=ex y=2x

没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；
对于⑤f（x）在（0，+∞）上单调递增，取区间[a，b]⊆（0，+∞），由题意设

lga+2=2a lgb+2=2b

，即a，b是方程lgx+2=2x的两个根，由于两函数

y=lgx+2 y=2x

有两个交点，故对应方程有两个根，即存在a，b满足条件．所以存在“和谐区间”的是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．

点评：本题考查函数的单调性、函数的值域求解，考查函数与方程思想，考查学生的阅读理解能力及解决新问题的能力．