Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=-3t+2 y=4t

（t为参数），P为C₁上的动点，Q为线段OP的中点．
①求点Q的轨迹C₂的方程；
②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线p=2sinθ上的动点，M为C₂与x轴的交点，求|MN|的最大值．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：①设点Q的坐标为（x，y），则由题意可得P（2x，2y），且

2x=-3t+2 2y=4t

，由此可得点Q的轨迹C₂的方程．
②由题意可得，点M（1，0），曲线p=2sinθ化为直角坐标方程，表示以A（0，1）为圆心、半径为1的圆．
则|MN|的最大值即为|AM|+1．

解答： 解：①设点Q的坐标为（x，y），则由题意可得P（2x，2y），∴

2x=-3t+2 2y=4t

，
即

x=- 3 2 t+1 y=2t

 （t为参数）．
②由题意可得，点M（1，0），曲线p=2sinθ的直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，
表示以A（0，1）为圆心、半径为1的圆．
由于|AM|=

2

，∴|MN|的最大值为1+

2

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的轨迹方程，直线和圆的位置关系，属于中档题．