Question

设f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：

x2

x1

随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x₁+x₂随着a的减小而增大．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）=0，得a=

x

ex

，设g（x）=

x

ex

，判定g（x）的单调性即得证；
（Ⅲ）由于x₁=aex1，x₂=aex2，则x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln

x2

x1

，令

x2

x1

=t，整理得到x₁+x₂=

(t+1)lnt

t-1

，令h（x）=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x₁+x₂随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值-lna-1	递减

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
①f（-lna）＞0；②存在s₁∈（-∞，-lna），满足f（s₁）＜0；③存在s₂∈（-lna，+∞），满足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，满足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=

2

a

+ln

2

a

，满足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（

2

a

-e

2

a

）+（ln

2

a

-e

2

a

）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．

（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=

x

ex

，设g（x）=

x

ex

，由g′（x）=

1-x

ex

，得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且，当x∈（-∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x₁、x₂满足a=g（x₁），a=g（x₂），a∈（0，e^-1）及g（x）的单调性，可得x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
对于任意的a₁、a₂∈（0，e^-1），设a₁＞a₂，g（X₁）=g（X₂）=a₁，其中0＜X₁＜1＜X₂；
g（Y₁）=g（Y₂）=a₂，其中0＜Y₁＜1＜Y₂；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a₁＞a₂，得g（X_i）＞g（Y_i），可得X₁＞Y₁；类似可得X₂＜Y₂；
又由X、Y＞0，得

X2

X1

＜

Y2

X1

＜

Y2

Y1

；∴

x2

x1

随着a的减小而增大；

（Ⅲ）证明：∵x₁=aex1，x₂=aex2，∴lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂；
∴x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln

x2

x1

，设

x2

x1

=t，则t＞1，
∴

x2-x1=lnt x2=x1t

，解得x₁=

lnt

t-1

，x₂=

tlnt

t-1

，
∴x₁+x₂=

(t+1)lnt

t-1

…①；
令h（x）=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），则h′（x）=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

；
令u（x）=-2lnx+x-

1

x

，得u′（x）=(

x-1

x

)2，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x₁+x₂随着t的增大而增大．
由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，
∴x₁+x₂随着a的减小而增大．

点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．