Question

已知双曲线C的中心在原点，且左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设以F₁F₂为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，则在Rt△MF₁F₂中可得|F1F2|=2c，|MF1|=

3

c，|MF2|=c，由双曲线定义列出a，c 的关系式，求出离心率．

解答： 解：依题意知，设以F₁F₂为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，
则在Rt△MF₁F₂中可得|F1F2|=2c，|MF1|=

3

c，|MF2|=c，
由双曲线的定义有|MF₁|-|MF₂|=2a即

3

c-c=2a，
所以双曲线C的离心率e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的定义、考查离心率的求法：找a，b，c的关系式，属于一道基础题．