Question

如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，∠AOB=60°，扇形绿地OAB的半径为r．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在

AB

上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，且所修建的小路CD与CE的总长最长．
（1）设∠COD=θ，试将CD与CE的总长s表示成θ的函数s=f（θ）；
（2）当θ取何值时，s取得最大值？求出s的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,弧度制

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）设扇形的半径为r．在△ODC 中，∠AOB=60°，∠CDO=120°，利用正弦定理得

r

sin∠CDO

=

CD

sin∠COD

，可求得CD与CE，从而可得函数s=f（θ）；
（2）利用三角恒等变换，可求得s=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ）=

2 3

3

rsin（

π

3

+θ），θ∈（0，

π

3

）；利用正弦函数的单调性与最值即可求得s的最大值．

解答： 解：（1）设扇形的半径为r，
在△ODC 中，∠AOB=60°，则∠CDO=120°，由正弦定理得

r

sin∠CDO

=

CD

sin∠COD

，
∴CD=

2 3

3

rsinθ，同理CE=

2 3

3

rsin（

π

3

-θ），
∴s=f（θ）=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ），θ∈（0，

π

3

）；
（2）∵s=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ）
=

2 3

3

rsinθ+

3

2

×

2 3

3

rcosθ-

1

2

×

2 3

3

rsinθ
=

3

3

rsinθ+rcosθ=

2 3

3

rsin（

π

3

+θ），θ∈（0，

π

3

）；
∵θ∈（0，

π

3

），
∴

π

3

+θ∈（

π

3

，

2π

3

），
∴当

π

3

+θ=

π

2

，即θ=

π

6

 时，s_max=f（

π

6

）=

2 3

3

r．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理与两角差与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．