Question

已知数列{a_n}满足奇数项a₁，a₃，a₅，…成等差数列{a_2n-1}（n∈N₊），而偶数项a₂，a₄，a₆，…成等比数列{a_2n}（n∈N₊），且a₁=1，a₂=2，a₂，a₃，a₄，a₅成等差数列，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设b_n=

S2n

2n

，试比较b_n+1与b_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：

分析：（Ⅰ）先利用等差数列及等比数列的定义求得a_2n-1=2n-1，a2n=2n，进而利用等差数列及等比数列的求和公式分别求得奇数项的和及偶数项的和，即得结论．注意分类讨论．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．即得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_2n-1}（n∈N₊）的公差为d，等比数列{a_2n}（n∈N₊）的公比为q，
则2（1+d）=2+2q，4q=（1+d）+（1+2d），解得q=d=2．…（2分）
于是a_2n-1=2n-1，a2n=2n，即数列的通项an=

n，n为奇数 2 n 2 ，n为偶数.

…（4分）
于是当n为偶数时，数列奇数项的和为[

1+(2× n 2 -1)

2

]×

n

2

=

n2

4

，偶数项的和为

2(1-2 n 2 )

1-2

=2

n

2

+1-2，
故Sn=

n2

4

+2

n

2

+1-2．…（6分）
当n为奇数时，Sn=Sn-1+an=

(n-1)2

4

+2

n+1

2

-2+n=2

n+1

2

+

n2+2n-7

4

．
于是Sn=

2 n+1 2 + n2+2n-7 4 ，n为奇数 n2 4 +2 n 2 +1-2，n为偶数.

…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=

S2n

2n

=

n2+2n+1-2

2n

，bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．…（10分）
当n≤3时，b_n+1≥b_n；当n＞3时，b_n+1＜b_n．…（13分）

点评：本题主要考查等差数列及等比数列的定义性质和求和公式的应用，考查学生的分类讨论思想及运算求解能力，属中档题．