Question

在平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}上恒有ax-2by≤2，则动点P（a，b）所形成平面区域的面积为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：先依据不等式组{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax-2by≤2”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答： 解：令z=ax-2by，
∵ax-2by≤2恒成立，
即函数z=ax-2by在可行域要求的条件下，z_max=2恒成立．
当直线ax-2by-z=0过点（1，1）或点（1，-1）或（-1，1）或（-1，-1）时，有：

a-2b≤2 a+2b≤2 -a-2b≤2 -a+2b≤2

．
点P（a，b）形成的图形是图中的菱形MNTS．
∴所求的面积S=2×

1

2

×4×1=4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．