Question

设函数f（x）=lnx+x²-2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+

1

2

a²，若F（m）=F（n）=0（其中0＜m＜n），且x₀=

m+n

2

，问：函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据基本不等式即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=f（x）+

1

2

a²，结合题意，列出方程组，
证得函数φ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²-2ax的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

+2x-2a=

1+2x2-2ax

x

，x∈（0，+∞），
∵函数f（x）在定义域内为增函数，
∴1+2x²-2ax≥0在（0，+∞）恒成立，即2a≤2x+

1

x

在（0，+∞）恒成立，
∴2a≤（2x+

1

x

）_min，
∵x＞0，∴2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号）
∴2a≤（2x+

1

x

）_min=2

2

∴a≤

2

，
故实数a的取值范围为（-∞，

2

]；
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+

1

2

a²=lnx+x²-2ax+

1

2

a²，
∴F′（x）=

1

x

+2x-2a．
假设函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线平行于x轴，
∴F′（x₀）=

1

x0

+2x₀-2a=0         ①
将x₀=

m+n

2

代入①式得到

2

m+n

+m+n-2a=0      ②
∵F（m）=F（n）=0（其中0＜m＜n），
∴F（m）-F（n）=ln

m

n

+(m-n)(m+n-2a)=0        ③
将③代入②得到，In

m

n

=

2m-n

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

(*) 
令t=

m

n

∈（0，1），则（*）式化为Int=

2(t-1)

t+1

．
设φ（t）=Int-

2(t-1)

t+1

（0＜t＜1）．
则φ′（t）=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴φ（t）在（0，1）内单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴方程（*）无解．
故F（x）（x₀，F（x₀））处的切线不能平行于x轴．

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．