Question

已知函数f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（3）若sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），求f（

α

2

+

π

24

）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接根据函数f（x）的解析式求出f（

π

6

）的值．
（2）由函数的解析式求得周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）由条件求得cosα=-

4

5

，从而根据函数的解析式求得f（

α

2

+

π

24

）的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴f(

π

6

)=

2

2

(sin

π

3

×cos

π

4

+cos

π

3

×sin

π

4

)=

3 +1

4

．
（2）T=

2π

2

=π，∵函数 y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上递增，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（3）因为sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），所以cosα=-

4

5

，
∴f(

α

2

+

π

24

)=

2

2

sin(α+

π

12

+

π

4

)=

2

2

×(sinα•cos

π

3

+cosα•sin

π

3

)=

3 2 -4 6

20

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．