对于函数f(x)=sinx.下列命题正确的有．(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)任意两个零点之间的距离为kπ,②存在x0＞0.x0≤f(x0),③曲线f(x)=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形重合,④l1.l2是函数f(x)=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线.则l1.l2斜率之和为0,⑤设④中l1.l2交于P点.则P点坐标可以是(π2.π2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

对于函数f（x）=sinx，下列命题正确的有

．（写出所有正确命题的序号）
①函数f（x）任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；
②存在x₀＞0，x₀≤f（x₀）；
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形重合；
④l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，则l₁，l₂斜率之和为0；
⑤设④中l₁，l₂交于P点，则P点坐标可以是（

，

）．

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：分别根据三角函数的图象和性质，进行判断即可得到结论．

解答： 解：①由函数f（x）的图象可知，任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；故①正确，
②任意x₀＞0，x₀≤f（x₀）；故②错误，
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形均为y=-sinx，重合；故③正确，
④由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，
则cosx₁cosx₂=-1，不妨设cosx₁≤cosx₂，则必有cosx₁=-1，cosx₂=1，则l₁，l₂斜率之和为0；故④正确．
⑤由④知，x₁=（2m+1）π，x₂=2nπ，（m，n∈Z），∴切线的交点P（x₀，y₀）=（

x1+x2

，

x2-x1

）=（（m+n）π+

，（m-n）π+

），
可见x₀，y₀都不是π的整数倍，但x₀+y₀是π的整数倍，则P点坐标可以是（

，

），满足条件，故⑤正确．
故正确的是①③④⑤，
故答案为：①③④⑤

点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求数列掌握三角函数的图象和性质，综合性较强，有一定的难度．

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