Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是梯形，BC∥AD，E，F分别是AD，PC的中点，△ABE，△BEC，△ECD都是边长为1的等边三角形．
（1）求证：AP∥平面EFB；
（2）若△PAD是等边三角形，求直线EF与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证AP∥平面EFB，可通过线面平行的判定定理来证明；
（2）要求直线EF与平面PAD所成角的正弦值，须找到线面角，再由边角关系即可求出．

解答： 解：（1）证：连AC交EB与O，连OF 
由ABCE为平行四边形∴O为AC中点 
在△APC中，OF∥AP
又∵OF?平面EFB，AP?平面EFB
∴AP∥平面EFB
（2）过C作CG⊥AD于G，连PG
由侧面PAD⊥底面ABCD知CG⊥平面PAD，
取PG中点H，连接HF、EH，则HF⊥平面PAD
∴∠FEH即为所求线面角
由AB=1，得HF=

1

2

CG=

3

4

，EF=

1

2

PC=1，
在Rt△FEH中sin∠FEH=

3

4

∴所求的角的正弦值为

3

4

．

点评：本题考查线面平行、线面垂直以及线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．