Question

如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿对角线BD吧△ABD折起到△A₁BD的位置，使A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求直线A₁C与平面A₁BD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出A₁O⊥平面BCD，BC⊥A₁O，从而得到BC⊥平面A₁CD，由此能证明BC⊥A₁B．
（2）由（1）得BC⊥A₁D，结合A₁D⊥A₁B和线面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面A₁BC，进而平面A₁DB⊥平面A₁BC，过C作CE⊥A₁B于E，∠CA₁E即为直线A₁C与平面A₁BD所成角，解三角形可得答案．

解答： 证明：（1）∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，
又∵BC?平面BCD，∴BC⊥A₁O，
又∵BC⊥CO，A₁O∩CO=O，∴BC⊥平面A₁CD，
又∵A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D．
解：（2）由（1）得BC⊥A₁D，
又∵A₁D⊥A₁B，A₁B∩BC=B，A₁B，BC?平面A₁BC，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁DB，
∴平面A₁DB⊥平面A₁BC，
过C作CE⊥A₁B于E，
则CE⊥平面A₁BD，
∴∠CA₁E即为直线A₁C与平面A₁BD所成角，
∴sin∠CA₁E=

BC

A1B

=

3

5

，
∴cos∠CA₁E=

4

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线面夹角的余弦值的求法，考查运算推恒能力，解题时要注意空间思维能力的培养．