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    已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
    （Ⅰ）求C的方程；
    （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
    （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
    （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程
    专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；
    （2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；
    （ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
    解答： 解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
    A（3，
    		6p
    ），F（
    p
    2
    ，0），|AF|=3+
    p
    2
    ，
    ∴|FD|=|AF|=3+
    p
    2
    ．
    ∵△ADF为正三角形，
    ∴|FG|=
    1
    2
    |FD|=
    3
    2
    +
    p
    4
    ．
     又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-
    p
    2
    ，
    ∴3-
    p
    2
    =
    3
    2
    +
    p
    4
    ，
    ∴p=2．
    ∴C的方程为y2=4x．
    当D在焦点F的左侧时，|FD|=|AF|=3+
    p
    2
    ．
    又|FD|=2|FG|=2（
    P
    2
    -3）=p-6，
    ∵△ADF为正三角形，
    ∴3+
    p
    2
    =p-6，解得p=18，
    ∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．
    ∴C的方程为y2=4x．
     （2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
    ∴D（x1+2，0），
    ∴kAB=-
    y1
    2
    ．
    由直线l1∥l可设直线l1方程为y=-
    y1
    2
    x+m    ，
    联立方程
    y=-
    y1
    2
    x+m
    y2=4x
    ，消去x得y1y2+8y-8m=0     ①
    由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
    这时方程①的解为y=-
    4
    y1
    =2m    ，代入y=-
    y1
    2
    x+m    得x=m2，∴E（m2，2m）．
    点A的坐标可化为(
    1
    m2
    ，-
    2
    m
    )    ，直线AE方程为y-2m=
    2m+
    2
    m
    m2-
    1
    m2
    （x-m2），
    即y-2m=
    2m
    m2-1
    (x-m2)    ，
    ∴y=
    2m
    m2-1
    x-
    2m3
    m2-1
    +2m    ，
    ∴y=
    2m
    m2-1
    x-
    2m
    m2-1
    ，
    ∴y=
    2m
    m2-1
    (x-1)    ，
    ∴直线AE过定点（1，0）；
    （ⅱ）直线AB的方程为y-y1=-
    y1
    2
    (x-
    y
    2
    1
    4
    )    ，即x=-
    2
    y1
    y+
    y
    2
    1
    4
    +2    ．
    联立方程
    x=-
    2
    y1
    y+
    y
    2
    1
    4
    +2
    y2=4x
    ，消去x得y2+
    8
    y1
    y-(
    y
    2
    1
    +8)=0    ，
    ∴y1+y2=-
    8
    y1
    ，
    ∴|AB|=
    		1+
    1
    k2
    |y1-y2|    =
    		1+
    4
    y
    2
    1
    |2y1+
    8
    y1
    |    ，
    由（ⅰ）点E的坐标为E(
    4
    y
    2
    1
    ，-
    4
    y1
    )    ，点E到直线AB的距离为：
    d=
    |
    8
    y
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    4
    +2-
    4
    y
    2
    1
    |
    		1+
    4
    y
    2
    1
    =
    |
    4
    y
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    4
    +2|
    		1+
    4
    y
    2
    1
    ，
    ∴△ABE的面积S=
    1
    2
    |AB|•d=
    1
    2
    |2y1+
    8
    y1
    |•|
    4
    y
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    4
    +2|    =2|
    y1
    2
    +
    2
    y1
    |3≥2×23≥16    ，
    当且仅当y1=±2时等号成立，
    ∴△ABE的面积最小值为16．
    点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．
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    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
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    如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿对角线BD吧△ABD折起到△A1BD的位置，使A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
    （1）求证：BC⊥A1D；
    （2）求直线A1C与平面A1BD所成角的余弦值．

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    （Ⅰ）若cosB=
    1
    3
    ，求
    1
    tanA
    +
    1
    tanC
    的值；
    （Ⅱ）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，在A处分别测得山顶上铁塔的塔顶E的仰角为θ和山脚点O（点O是点E在公路所在平面上的射影）的方位角是西偏北φ，再行驶akm到达B处，测得山脚点O的方位角是西偏北β．请设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE的步骤．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
    （1）求证：AB∥FG；
    （2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l1，l2分别是曲线y=f（x）的两条不同的切线．
    （1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1时f（x）有极小值为-4．
    （i）求a，b，c，d的值；
    （ii）若直线l3亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l1，l2，l3交于点G（m，4），求实数m的取值范围；
    （2）若直线l1∥l2，直线l1与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直线l2和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，求（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则
    （Ⅰ）函数f（t）的解析式为
     
    ；
    （Ⅱ）函数y=f（t）的图象在点P（t0，f（t0））处的切线的斜率为
    2
    		3
    3
    ，则t0=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A-BDA1的体积为
     
    ．

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