Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（Ⅰ）若cosB=

1

3

，求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（Ⅱ）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用△ABC中，a、b、c成等比数列及正弦定理可得sin²B=sinAsinC，再结合cosB=

1

3

，将所求关系式中的切化弦即可求得其值；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可求得cosB≥

1

2

，B∈（0，

π

3

]，6=a+b+c=

ac

+a+c≥3

ac

⇒ac≤4，从而可求得△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由a、b、c成等比数列，得b²=ac，sin²B=sinAsinC----（2分）
又cosB=

1

3

，得sinB=

2 2

3

（0＜B＜π）-----------------------------（3分）

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

---------------------------------------（4分）
=

sin(A+C)

sinAsinC

-------------------------------------（5分）
=

1

sinB

=

3 2

4

------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，-------------------------（7分）
∴B∈（0，

π

3

]，∴sinB≤

3

2

--------------------------------（8分）
又6=a+b+c=

ac

+a+c≥3

ac

 （当且仅当a=c=2时取“=”）------------（9分）
∴ac≤4，（10分）
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

--------------------（11分）
∴S_△ABC的最大值为

3

---------------（12分）（文科）

点评：本题考同角三角函数基本关系的运用，着重考查正弦定理与余弦定理及基本不等式的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．