练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
    cosA
    sinA
    +
    cosC
    sinC
    =
    1
    sinB
    ．
    （1）求证：0＜B≤
    π
    3
    ；
    （2）若sinB=
    		7
    4
    ，且
    BA
    •
    BC
    =
    3
    2
    ，求|
    BC
    +
    BA
    |的值．
    考点：正弦定理,平面向量数量积的运算
    专题：三角函数的求值,解三角形
    分析：（1）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的关系式代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围；
    （2）由sinB的值，确定出cosB的值，已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算求出ac的值，进而确定出b的值，利用余弦定理求出a2+c2的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算，将各自的值代入计算，开方即可求出值．
    解答： 解：（1）∵
    cosA
    sinA
    +
    cosC
    sinC
    =
    sinCcosA+cosCsinA
    sinAsinC
    =
    sin(A+C)
    sinAsinC
    =
    sinB
    sinAsinC
    =
    1
    sinB
    ，
    ∴sinAsinC=sin2B，
    由正弦定理可得，b2=ac，
    ∵b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，
    ∴cosB≥
    1
    2
    ，即0＜B≤
    π
    3
    ；
    （2）∵sinB=
    		7
    4
    ，且b2=ac，
    ∴B不是最大角，
    ∴cosB=
    		1-sin2B
    =
    3
    4
    ，
    ∴
    BA
    •
    BC
    =cacosB=
    3
    4
    ac=
    3
    2
    ，即ac=2，
    ∴b2=2，
    由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
    ∴a2+c2=5，
    则|
    BC
    +
    BA
    |2=a2+c2+2
    BC
    •
    BA
    =a2+c2+2accosB=8，
    即|
    BC
    +
    BA
    |=2
    		2
    ．
    点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知PA⊥菱形ABCD所在平面，点E、F分别为线段BC、PA的中点．    
    （1）求证：BD⊥PC；
    （2）求证：BF∥平面PDE．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，a3-1是a1+1和a4的等比中项．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
    （Ⅱ）若bn=
    an2-3
    Sn-n
    ，求数列{bn}的前n项和Tn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在公差不为0的等差数列{an}中，a3+a10=15，且a2，a5，a11成等比数列．
    （Ⅰ）求{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设bn=
    1
    an
    +
    1
    an+1
    +…+
    1
    a2n-1
    ，试比较bn+1与bn的大小，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
    （Ⅰ）若cosB=
    1
    3
    ，求
    1
    tanA
    +
    1
    tanC
    的值；
    （Ⅱ）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    e2x
    x-1

    （1）求函数的单调区间；
    （2）若当x≥2时，f′（x）≥af（x）恒成立，求实数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
    （1）求证：AB∥FG；
    （2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx．若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得
    f(x1)
    x1
    =
    f(x2)
    x2
    =
    f(x3)
    x3
    =t，则实数t的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知底面是正方形的长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2
    		7
    ，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O上任意一点，有以下判断：
    ①PE长的最大值是9；
    ②三棱锥P-EBC体积最大值是15+3
    		7
    ；
    ③存在过点E的平面，截球O的截面面积是8π；
    ④Q是球O上另一点，PQ=8，则四面体ABPQ体积的最大值为56；
    ⑤过点E的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直于该截面．
    其中判断正确的序号是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案