Question

设函数f（x）=

e2x

x-1

（1）求函数的单调区间；
（2）若当x≥2时，f′（x）≥af（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域，再求导，根据导数判断单调性；
（2）对于恒成立的问题，转化为求关于参数的最值问题．

解答： 解：（1）函数f（x）定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)=

e2x(2x-3)

(x-1)2

，
由f′(x)=

e2x(2x-3)

(x-1)2

＞0解得x＞

3

2

，
由f′（x）＜0解得x＜

3

2

且x≠1，
故函数f（x）的单调递增区间是(

3

2

，+∞)，单调递减区间是(-∞，1)，(1，

3

2

)．
（2）由（1）知

e2x(2x-3)

(x-1)2

≥a•

e2x

x-1

恒成立，
即a≤

2x-3

x-1

，
令g(x)=

2x-3

x-1

，
则g′(x)=

1

(x-1)2

＞0，
因此g（x）在[2，+∞）上单调递增，于是g（x）≥g（2）=1
故实数a的取值范围是（-∞，1]

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想、考查基本不等式的应用与运算求解能力，属于难题．