Question

在数列{a_n}中，已知a₁=4，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）记b_n=a_n-2n，试判断数列求数列{b_n}是等差数列还是等比数列？并证明你的判断；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出b_n=a_n-2n的表达式，利用等比数列和等差数列的定义进行判断即可；
（Ⅱ）利用分组求和法，进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=4，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）．
∴a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），（n∈N^*）．
即b_n+1=3b_n，
则数列{b_n}是等比数列公比q=3，首项a₁-2=4-2=2；
（Ⅱ）∵数列{b_n}是等比数列公比q=3，首项a₁-2=4-2=2；
∴b_n=2×3^n-1，即a_n-2n=2×3^n-1，
a_n=2×3^n-1+2n，
则数列{a_n}的前项和S_n=2（1+3+…+3^n-1）+2（1+2+…n）=2×

1-3n

1-3

+n(n+1)=3ⁿ-1+n（n+1）．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的判断，以及利用分组求和法求出数列的前n项和，考查学生的计算能力．