Question

将三个半径为3的球两两相切地放在水平桌面上，若在这三个球的上方放置一个半径为1的小球，使得这四个球两两相切，则该小球的球心到桌面的距离为

 

．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：空间位置关系与距离

分析：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且底面各棱长均为6，侧棱长均为4，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高，由此可求上面一个球的球心到桌面的距离．

解答： 解：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，
且底面各棱长均为6，侧棱长均为4，
作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高．

连接O₄H，则O₄H=

3

3

×6=2

3

，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，
∴O₁H=

O1 O 2 4 -O4H2

=2，
则从上面一个球的球心到桌面的距离为2+3=5，
故答案为：5

点评：本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生转化问题的能力，属于中档题．