Question

已知函数f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若x=x₀（0≤x₀≤

π

2

）为f（x）的一个零点，求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）由f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）+

1

2

=0，得sin（2x₀-

π

6

）=-

1

4

＜0，0≤x₀≤

π

2

，可得-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤0，于是可求得cos（2x₀-

π

6

）的值，利用两角和的余弦即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+

3

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x，
=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∴f（x）的周期为π，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z．
（Ⅱ）由f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）+

1

2

=0，得sin（2x₀-

π

6

）=-

1

4

＜0，
又由0≤x₀≤

π

2

得-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

π

6

≤2x₀-

π

6

≤0，故cos（2x₀-

π

6

）=

15

4

，
此时cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=cos（2x₀-

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀-

π

6

）sin

π

6

=

15

4

×

3

2

-（-

1

4

）×

1

2

=

3 5 +1

8

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，考查同角三角函数间的关系的应用及两角和的余弦，突出考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．