Question

已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1是奇函数，则不等式f（x）＜e^x的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件构造函数令g（x）=

f(x)

ex

，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．

解答： 解：由题意令g（x）=

f(x)

ex

，
则g′(x)=

f′(x)•ex-f(x)•(ex)′

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是单调递减函数，
∵y=f（x）-1为奇函数，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜e^x等价为

f(x)

ex

＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评：本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．