Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ω-

π

3

）-1（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式并求f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（B）=1，S_△ABC=

3 3

4

，且a+c=3+

3

，求边长b．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，再根据周期性求得ω，从而求得它的对称中心．
（2）在△ABC中，由f（B）=1求得 B，根据S_△ABC=

1

2

•ac•sinB，求得 ac，再利用a+c=3+

3

余弦定理可得b的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ω-

π

3

）-1=

3

sinωx-cosωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
根据函数的周期为π=

2π

ω

，可得ω=2，故函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

2

-

π

12

，故函数的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，-1），k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（B）=2sin（2B+

π

6

）=1，∴B=

π

6

．
∵S_△ABC=

1

2

•ac•sinB=

3 3

4

，∴ac=3

3

．
再由a+c=3+

3

，利用余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-

3

ac
=(3+

3

)2-2×3

3

-

3

×3

3

=3，
∴b=

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性、对称性、余弦定理，属于中档题．．