Question

若关于x的方程

3

sinx+cosx=k在区间[0，

π

2

]上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：方程

3

sinx+cosx=k在区间[0，

π

2

]上有两个不同的实数解，可以将方程转化为：sin（x+

π

6

）=

k

2

，画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解；

解答： 解：∵方程

3

sinx+cosx=k，
∴2sin（x+

π

6

）=k，即sinx（x+

π

6

）=

k

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

k

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=k在区间[0，

π

2

]上有两个不同的实数解
∴函数f（x）和h（x）的图象有两个交点，
如下图：
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

∴h（x）=

k

2

，要使y=f（x）与y=h（x）有两个交点，
∴y=h（x）在直线m和直线n之间，有两个交点，
∴

3

2

≤

k

2

＜1，
∴

3

≤k＜2．
故答案为：[

3

，2）．

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，数形结合的思想得到了很好的体现．