Question

设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx．若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x₁，x₂，x₃，使得

f(x1)

x1

=

f(x2)

x2

=

f(x3)

x3

=t，则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-tx有三个不同零点，可转化成“f（x）-tx=0在区间[1，9）上有三个解，利用数形结合，即可求出所求．

解答： 解：设x∈[3，9），则

x

3

∈[1，3），
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（

x

3

）=ln

x

3

，
∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），
∴f（x）=

lnx， 1≤x≤3 ln x 3 ， 3≤x＜9

，
∵在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x₁，x₂，x₃，使得

f(x1)

x1

=

f(x2)

x2

=

f(x3)

x3

=t，
∴f（x）-tx=0在区间[1，9）上有三个解，
则y=t与h（x）=

f(x)

x

的图象有三个交点，
当x∈[1，3），h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，
当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）=

f(x)

x

在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
∴当x=e处，函数h（x）=

f(x)

x

在[1，3）上取最大值是

1

e

，
当x∈[3，9），h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

，则h′（x）=

1-ln x 3

x2

=0，解得x=3e，
∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0，
即函数h（x）=

ln x 3

x

在[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减，
∴当x=3e处，函数h（x）=

ln x 3

x

在[3，9）上取最大值

1

3e

，
根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）=

1

e

，h（3）=0，h（3e）=

1

3e

，h（9）=

ln3

9

，画出函数的图象，
根据图象可知y=t与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e） 上两个交点，
∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-tx有三个不同零点，则实数a的取值范围是（

ln3

9

，

1

3e

）．
故答案为：（

ln3

9

，

1

3e

）

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．