Question

若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x+3）=-f（x+1），且f（2）=2014，则f[f（2014）+2]+3=

 

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Answer 1

考点：函数的周期性

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：由题目特点可知，此题考查了函数的周期性．由已知f（x）对任意的x∈R都有f（x+3）=-f（x+1），可知当函数f（x）中的自变量x取值相差2时，函数值互为相反数，则相差4时函数值相等，所以函数f（x）的周期为4k，（k∈Z），且由已知得f（2）=-f（0）=-2014．

解答： 解：由x的任意性，不妨令t=x+1，代入已知f（x+3）=-f（x+1）得f（t+2）=-f（t）①，
所以f（t+4）=f[（t+2）+2]=-f（t+2）=f（t），所以函数f（x）的周期是4k （k∈Z），
所以f（2014）=f（4×2012+2）=f（2）=2014，
所以f[f（2014）+2]+3=f（2016）+3=f（0）+3，结合①知f（0）=-f（0+2）=-2014，
所以f[f（2014）+2]+3=-2011．
答案为：-2011

点评：本题较为抽象，有些难度，所以我们要从函数的基本概念出发，利用已知中x的任意性，将f（x+3）=-f（x+1），理解为自变量x的取值从x+3到x+1相差2，则函数值互为相反数，则再相差2，则函数值就和原来相等；所以周期是4．则问题就迎刃而解了．本题还考查了转化思想在解决抽象函数问题中的应用．