Question

如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos＜n，

BC

＞|，求出角α；设H（u，v，w），再设

PH

=λ

PC

(0＜λ＜1)，用λ表示H的坐标，再由n•

AH

=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．

解答： （1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，
∴AB∥DE，又∵AB?平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG；
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F（0，1，1），

BC

=(1，1，0)，
设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则

n• AB =0 n• AF =0

即

x=0 y+z=0

，
令z=1，则y=-1，∴n=（0，-1，1），
设直线BC与平面ABF所成的角为α，则
sinα=|cos＜n，

BC

＞|=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

1

2

，
∴直线BC与平面ABF所成的角为

π

6

，
设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设

PH

=λ

PC

(0＜λ＜1)，
即（u，v，w-2）=λ（2，1，-2），∴u=2λ，v=λ，w=2-2λ，∵n是平面ABF的法向量，
∴n•

AH

=0，即（0，-1，1）•（2λ，λ，2-2λ）=0，解得λ=

2

3

，∴H（

4

3

，

2

3

，

2

3

），
∴PH=

( 4 3 )2+( 2 3 )2+(- 4 3 )2

=2．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．