Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c的两个极值点分别为x₁和x₂，有f（x₁）=x₂，f（x₂）=x₁，其中x₁≠x₂，则函数g（x）=f²（x）+af（x）+b的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程（f（x））²+af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c有极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b，
且x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的两根，
不妨设x₂＞x₁，
由（f（x））²+af（x）+b=0，
则有两个f（x）使等式成立，
x₂=f（x₁），x₂＞x₁=f（x₂），
如图所示：

有4个交点，
故答案为：4．

点评：本题主要考查函数零点的概念、函数的极值和函数的导数之间的关系，利用是数形结合是解决本题的关键．