Question

已知椭圆E：

x2

m2

+

y2

n2

=1过点A（-1，0）和点B（1，0），其中一个焦点与抛物线y=

2

8

x²的焦点重合，C为E上异于顶点的任一点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E所在平面上的两点M，G同时满足：①

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

；②|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|．试问直线MG的斜率是否为定值，若为定值求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）化抛物线方程为标准式，求出焦点坐标，由题意得到椭圆的长半轴，再由椭圆一个焦点与抛物线焦点重合得到椭圆的半焦距，结合隐含条件得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出C点坐标，由①②可知G为三角形重心，M为三角形外心，把G点坐标用C点坐标表示，再设出M点坐标，由|

.

MA

|=|

.

MC

|得到B，C坐标的关系，结合C点在椭圆上可得M的坐标，则MG所在直线斜率可求．

解答： 解：（Ⅰ）由y=

2

8

x²，得x2=4

2

y，
∴抛物线的焦点坐标为(0，

2

)，
由题意知m²=1，
又c=

2

，
∴n2=m2+(

2

)2=1+2=3，
∴椭圆E的方程为x2+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），
由

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

可知G为△ABC的重心，
则G(

x0

3

，

y0

3

)．
由|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|知M为△ABC的外心，
故设M（0，y₁），
由|

.

MA

|=|

.

MC

|，得1+y12=x02+(y0-y1)2，
整理得：x02+y02-2y0y1=1．
又x02+

y02

3

=1，
∴

2

3

y02-2y0y1=0．
∴y₀=3y₁，
则M（0，

y0

3

）．
∴k_MG=0．
即直线MG的斜率是定值0．

点评：本题是圆锥曲线的综合题，考查椭圆方程的求法，考查了由向量关系判断三角形的重心和外心，体现了整体代换思想方法，是压轴题．