Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1（n∈N⁺）．若不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

对任意的n∈N⁺恒成立，则实数λ的最大值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：在已知递推式中分别取n=1，2，联立方程组求得首项和公差，求出等差数列的通项公式，进一步得到a_n+1，代入不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

后分n为偶数和奇数变形，分离参数λ后分别利用基本不等式求最值和函数单调性求最值，取交集后得到λ的取值范围，则λ的最大值可求．

解答： 解：在a_n²=S_2n-1中，
令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
a_n+1=2n+1．
①当n为偶数时，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得，
∴此时λ需满足λ≤25；
②当n为奇数时，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，
∵2n-

8

n

随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
则λ≤-6-15=-21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ≤-21．
∴实数λ的最大值为-21．
故答案为：-21．

点评：本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了利用基本不等式和函数单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．