Question

已知PA⊥菱形ABCD所在平面，点E、F分别为线段BC、PA的中点．    
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求证：BF∥平面PDE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，又由ABCD是菱形，可得AC⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．
（2）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得FG∥AD，且FG=

1

2

AD，又由BE∥AD，且BE=

1

2

AD，进而四边形BEGF是平行四边形，进而BF∥EG，再由线面平行的判定定理得到BF∥平面PDE

解答： 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（2）取线段PD的中点G，连结EG，FG，
则FG∥AD，且FG=

1

2

AD，
又BE∥AD，且BE=

1

2

AD，
∴FG∥BE，FG=BE，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BF∥EG，
又BF?平面PDE，EG?平面PDE，
∴BF∥平面PDE．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题．