Question

在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n-1

，试比较b_n+1与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，并由条件确定d的范围，根据等差数列的通项公式及等比数列的性质、以及题意列出关于首项和公差的方程组，求出公差和首项后代入等差数列的通项公式化简即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a_n代入b_n，再求出b_n+1的表达式，然后作差：b_n+1-b_n各项相消后再化简，最后把所得的式子与令进行比较，可得b_n+1和b_n的大小关系．

解答： 解：（Ⅰ）设正项等差数列{a_n}的公差为d，则d≠0，
由a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比数列得，

2a1+11d=15                          ① (a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)  ②

，②化为6d²-3da₁=0，
∵d≠0，∴a₁=2d，代入①解得，
d=1，则a₁=2，
所以，a_n=a₁+（n-1）•d=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意得，bn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
则bn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
∴bn+1-bn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
即b_n+1＞b_n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质，比较大小时常用做差法进行比较，此题的关键是根据条件和公式列出方程组，考查了基础知识和运算能力．