Question

先将函数f（x）=cos（2x+

3π

2

）的图象上所有的点都向右平移

π

12

个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；
（2）若A为三角形的内角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,余弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，易求g（x）=sin（x-

π

6

），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x）的单调递减区间；
（2）由（1）知，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，易知0＜A-

π

6

＜

π

2

，于是得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]，利用两角和的正弦即可求得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x+

3π

2

）=sin2x，
∴依题意，有g（x）=sin（x-

π

6

），
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ得：

2π

3

+2kπ≤x≤

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴g（x）=sin（x-

π

6

），且它的单调递减区间为[

2π

3

+2kπ，

5π

3

+2kπ]k∈Z．
（2）由（1）知，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，
∵0＜A＜π，
∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，又0＜sin（A-

π

6

）＜

1

2

，
∴0＜A-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，
∴f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

2 2 + 3

6

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式与两角和的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．