Question

已知向量

a

=（2sinx，sinx-cosx），

b

=（cosx，

3

（cosx+sinx）），函数f（x）=

a

•

b

+1
（1）当x∈（

π

4

，

π

2

）时，求f（x）的值域；并求其对称中心．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若将f（x）向左平移

π

4

个单位，且b=5，f（

B

2

）=3，求△ABC面积最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，从而可求当x∈（

π

4

，

π

2

）时，f（x）的值域及其对称中心；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=f（x+

π

4

）=2sin（2x+

π

6

）+1，结合f（

B

2

）=3，可求得B=

π

3

，利用余弦定理与基本不等式可求得ac≤25，从而可求得△ABC面积最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1…2分
∵

π

4

＜x＜

π

2

，∴

π

2

＜2x＜π，∴

π

6

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，…3分
∴

1

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1，∴2＜2sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴f（x）的值域为（2，3]…5分
由2x-

π

3

=kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴其对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，1）…6分
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，将f（x）向左平移

π

4

个单位后得：
g（x）=f（x+

π

4

）=2sin[2（x+

π

4

）-

π

3

]+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵f（

B

2

）=3，
∴2sin（B+

π

6

）+1=3…8分
∴sin（B+

π

6

）=1，B=

π

3

，又b=5，
据余弦定理得25=b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥ac，
∴ac≤25，
∴S_△ABC=

3

4

ac≤

25 3

4

…12分

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的图象与性质，考查正弦定理与余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．