Question

设函数f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且仅有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a满足f（x₁）=e 

2

3

x₁？如存在，求f（x）的极大值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，求出f（x）的单调性，求出参数的取值范围．
（2）根据f（x₁）=e 

2

3

x₁，和f（x）=ax²+e^x（a∈R）得到R（x）=

ex

x

-

1

2

ex-e

2

3

（0＜x＜1），利用导数，确定函数f（x₁）的单调性，从而确定最值，即可求得答案．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax+e^x．
显然a≠0，x₁，x₂是直线y=-

1

2a

与曲线y=g（x）=

x

ex

两交点的横坐标
由g′（x）=

1-x

ex

=0，得x=1．列表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	g（x）max= 1 e	↘

此外注意到：
当x＜0时，g（x）＜0；
当x∈[0，1]及x∈（1，+∞）时，g（x）的取值范围分别为[0，

1

e

]和（0，

1

e

）．
于是题设等价于0＜-

1

2a

＜

1

e

⇒a＜-

e

2

，故实数a的取值范围为（-∞，-

e

2

）
（2）存在实数a满足题设．证明如下：
由（1）知，0＜x₁＜1＜x₂，f′（x₁）=2ax₁+ex1=0，
故f（x₁）=ax12+ex1=ex1-

x1

2

ex1=e 

2

3

x₁，故

ee1

x1

-

1

2

ex1-e

2

3

=0
记R（x）=

ex

x

-

1

2

ex-e

2

3

（0＜x＜1），则R′(x)=

ex(x-1)

x2

-

1

2

ex＜0，
于是，R（x）在（0，1）上单调递减．
又R（

2

3

）=0，故R（x）有唯一的零点x=

2

3

．
从而，满足f（x₁）=e 

2

3

x的x₁=

2

3

．所以，a=-

3

4

e

2

3

，
此时f（x）=-

3

4

e

2

3

x2+ex，f′(x)=-

3

2

e

2

3

x+ex，
又f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，而x₁=

2

3

∈（0，1），
故当a=-

3

4

e

2

3

时，f（x）_极大=f（x₁）=

2

3

e

2

3

．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．属于中档题．