Question

5．已知直线2x-y+4=0与抛物线x²=4y相交于A，B两点，O是坐标原点，P是抛物线弧AOB上的一点，则△ABP面积的最大值是20．

Answer 1

分析 要使得内接△ABP面积最大，则只须使得过P点的切线与直线2x-y+4=0平行，由导数的性质能求出P位于（4，4）点处时，△ABP面积最大．

解答 解：要使得内接△ABP面积最大，则只须使得过P点的切线与直线2x-y+4=0平行，
∵x²=4y，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
∵y′=$\frac{1}{2}x$，直线2x-y+4=0斜率为2，
∴过P点的切线斜率k=y_p′=2，
解得x_P=4，则可得y_P=4
∴P位于（4，4）点处时，△ABP面积最大．两条平行线间的距离为$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
直线2x-y+4=0与抛物线x²=4y联立，可得x²-8x-16=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\sqrt{36+64}$=10$\sqrt{5}$，
∴△ABP面积的最大值是$\frac{1}{2}×10\sqrt{5}×\frac{4}{\sqrt{5}}$=20，
故答案为：20．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．