Question

20．△ABC中，2bcosB=acosC+ccosA
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得cosB的值，结合范围B∈（0，π）即可得解B的值．
（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），结合范围$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，可求$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，利用正弦函数的性质即可得解其取值范围．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，…（2分）
∴2sinAcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB…（4分）
$cosB=\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π）
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$sinA+sinC=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$，…（8分）
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，…（12分）
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]∴\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．