Question

11．函数$y=sin（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$是（　　）

• A． 最小正周期为π的奇函数
• B． 最小正周期为π的偶函数
• C． 最小正周期为$\frac{π}{2}$的奇函数
• D． 最小正周期为$\frac{π}{2}$的偶函数

Answer 1

分析 将函数化为y=Asin（ωx+φ）或Acos（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质判断即可．

解答 解：令f（x）=$y=sin（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
化简得：f（x）=-cos（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{2}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$
=-cos²（x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$
=-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）$+\frac{1}{2}$
=-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
f（-x）=$\frac{1}{2}$sin（-2x）=-$\frac{1}{2}$sin2x=-f（x）
∴函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x是奇函数．
故选A．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质和化简能力．属于基础题．