Question

19．已知数列{a_n}的通项公式${a_n}={log_2}\frac{n}{n+1}（n∈{N^*}）$，设其前n项和为S_n，则使S_n＞-4成立的自然数n有（　　）

• A． 最大值14
• B． 最小值14
• C． 最大值15
• D． 最小值15

Answer 1

分析 a_n=log₂$\frac{n}{n+1}$log₂n-log₂（n+1），运用裂项相消求和求得S_n=-log₂（n+1），再由对数不等式的解法可得n的范围，进而得到n的最大值

解答 解：a_n=log₂$\frac{n}{n+1}$log₂n-log₂（n+1），
即有前n项和为S_n=log₂1-log₂2+log₂2-log₂3+…+log₂n-log₂（n+1）
=-log₂（n+1），
由S_n＞-4，即为log₂（n+1）＜4，
解得n+1＜16，即有n＜15，
则n的最大值为14．
故选：A

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查对数的运算性质和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．