Question

9．已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，记{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，则正整数
k的值为6．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差等于d，由题意和等差数列的通项公式列出方程组，由等差数列的通项公式、前n项和公式求出 a₁和d的值，求出a_n和S_n，由等比中项的性质列出方程，求出正整数k的值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差等于d，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得 a₁=2，d=2．
∴a_n =2+（n-1）2=2n，
前n项和为S_n =$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1），
∵若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，∴${{a}_{k}}^{2}$=a₁ S_k+2 ，
∴4k² =2（k+2）（k+3），
解得k=6 或k=-1（舍去），则k=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力，属于中档题．