Question

2．已知z₀=2+2i，|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
（1）求复数z在复平面内对应的点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
（2）求z为何值时，|z|有最大、最小值，并求出|z|有最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi（x，y∈R），代入|z-z₀|=$\sqrt{2}$，利用复数的运算法则、模的计算公式化简即可得出．
（2）当Z点在OZ ₀的连线上时，|z|有最大值或最小值．

解答 解（1）设z=x+yi（x，y∈R），由|z-z₀|=$\sqrt{2}$，
即|x+yi-（2+2i）|=|（x-2）+（y-2）i|=$\sqrt{2}$，解得（x-2）²+（y-2）²=2，
∴复数z点的轨迹是以Z₀（2，2）为圆心，
半径为$\sqrt{2}$的圆．                               
（2）当Z点在OZ ₀的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OZ ₀|=2$\sqrt{2}$，半径r=$\sqrt{2}$，
∴当z=1+i时，|z|_min=$\sqrt{2}$，
当z=3+3i时，|z|_max=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义、圆的复数形式的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．