Question

已知函数，设曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为，（为正数）

（1）试用表示

（2）若记，证明是等比数列，并求数列的通项公式；

（3）若是数列的前n项和，证明：

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）见解析

【解析】本试题主要是考查了数列与函数，以及不等式的综合运用。

（1）因为曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为，利用求出切点的斜率和点到坐标表示切线方程，进而得到结论。

（2）由（1）知，

所以从而得到所证明数列是等比数列。

（3）显然恒大于0 ------------11分

因为

所以

然后分类讨论求和得到证明。

解：（1）因为 所以曲线y=f(x)在点处的切线方程是， ---------2分

令y=0得

显然所以

即（或）  ----------4分

（2）由（1）知，

所以  ------------6分

从而，即其

所以是以为首项，为公比的等比数列  -------8分

所以，即

所以，所以 ---------10分

（3）显然恒大于0 ------11分

因为

所以 ----------12分

当时，显然

当时，

所以

即成立，证毕 ------------14分