Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=

3

，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、1

Answer 1

分析：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S_△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．

解答：解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2

3

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2

3

则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=

SA2-AD2

=

12- 3 4

=

3 5

2

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=

AC2-AD2

=

4- 3 4

=

13

2

又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S-ABC的体积：V=

1

3

AB•S_△SCD，
因为：SD=

3 5

2

，CD=

13

2

，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）

1

2SD•CD

=（

45

4

+

13

4

-16）

1

2×  3 5 2  × 13 2

=-

6

4

1

3 65 2

=-

1

65

则：sin∠SDC=

1-cos2∠SDC

=

8

65

由三角形面积公式得△SCD的面积S=

1

2

SD•CD•sin∠SDC=

1

2

×

3 5

2

×

13

2

×

8

65

=3
所以：棱锥S-ABC的体积：V=

1

3

AB•S_△SCD=

1

3

×

3

×3=

3

故选C

点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．