Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=60°，则棱锥S-ABC的体积为

 

．

Answer 1

分析：根据条件求出三棱锥的底面积和高的大小，利用三棱锥的体积公式即可求解．

解答：解：设球心为点O，∵为线段SC是球的直径，
∴它也是大圆的直径，
则得：∠SAC=∠SBC=90°，
∴在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=60° 得：AC=2

3

，SA=2，
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=，60° 得：BC=2

3

，SB=2，
∵AB=2，
∴△SAB为正三角形，△CAB为等腰三角形，
设AB的中点为D，连结SD和CD，
则SD=

3

，CD=

(2 3 )2-12

=

11

，
且SD⊥AB，CD⊥AB，
又SD∩CD=D，
∴AB⊥面SDC，
在△SCD中，SC=4，SD=

3

，CD=

11

，
∴由余弦定理得cos∠CSD=

SC2+SD2-CD2

2SC•SD

=

16+3-11

2×4× 3

=

1

3

，
即sin∠CSD=

1-( 1 3 )2

=

1- 1 3

=

2 3

=

2

3

，
△SCD的面积S=

1

2

SD•SC•sin∠CSD=

1

2

×

3

×4×

2

3

=2

2

，
棱锥S-ABC的体积：V=V_A-SDC+V_B-SDC=

1

3

S•AD+

1

3

S•BD=

1

3

S•AB=

1

3

AB•S_△CSD=

1

3

×2×2

2

=

4 2

3

．
故答案为：

4 2

3

．

点评：本题主要考查了球内接三棱锥的体积计算，利用利用分割法求锥体的体积，利用线面垂直的判定定理证明AB⊥面SCD是解决本题的关键，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．