Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a>0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1=（n∈N*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n^；
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵是等差数列，，b_n=a_na_n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12 ，
即d=1或d=-
又因a==1+d>0
∴d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）=，=
S_n=
（Ⅲ）不能为等比数列，理由如下：
∵=a_na_n+1，{b_n}是公比为-1的等比数列
∴
∴
假设为等比数列，由a₁=1，a²=a得a₃=a²，所以a₂=a-1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列。