Question

给定双曲线x2-

y2

2

=1．
（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．
（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P(

.

x

，

.

y

)，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由

.

x

，

.

y

的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．
（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，设Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）根据韦达定理表示出x₁+x₂求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．

解答：解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）
将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k²）x²+（4k²-2k）x-4k²+4k-3=0，（2）
又设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P(

.

x

，

.

y

)，
则x₁，x₂必须是（2）的两个实根，所以有x1+x2=

4k2-2k

k2-2

(k2-2≠0)．
按题意，

.

x

=

1

2

(x1+x2)，∴

.

x

=

2k2-k

k2-2

．
因为(

.

x

，

.

y

)在直线（1）上，所以

.

y

=k(

.

x

-2)+1=k(

2k2-k

k2-2

-2)+1=

2(2k-1)

k2-2

．
再由

.

x

，

.

y

的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为

8( . x -1)2

7

-

4( . y - 1 2 )2

7

=1，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，（3）
设Q1(

.

x

1，

.

y

1)，Q2(

.

x

2，

.

y

2)，则

.

x

1，

.

x

2必须是（3）的两个实根，
即

.

x

1+

.

x

2=

2k2-2k

k2-2．

如果B是Q₁Q₂的中点，
就有

1

2

（x₁+x₂）=1，

.

x

1+

.

x

2=2，所以有

2k2-2k

k2-2

=2．
综合起来，k应满足(I)

(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)≥0 2k2-2k k2-2 =2

．
由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解．
故满足题设中条件的直线不存在．

点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的结果一定注意放到判别式中进行验证．