Question

给定双曲线x2-

y2

2

=1，过A（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？这样的直线若存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：假设存在，设出方程与双曲线方程联立，利用A为线段BC中点，结合韦达定理，求出k的值，验证根的判别式，可得结论．

解答：解：假设存在题设中的直线m．---------1′
设直线m的方程为y-1=k（x-1），-----------2′
由

x2- y2 2 =1 y-1=k(x-1)

----------4′
得（2-k²）x²+2k（k-1）x-k²+2k-3=0
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）--------6′，
则x1+x2=

2k(1-k)

2-k2

=2，解得：k=2-------------11′
此时，△＜0，所以k=2时，直线m与双曲线不相交，
故假设不成立，即题中的直线m不存在．--------------13′

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，验证根的判别式是关键．